数列高考考点_数列高考题汇总

1.数列问题（高考题）越快越好，要有解答。

2.急啊！！快高考了，如何学数列？

3.高考中求数列的通项公式共有几种方法。

4.高考数列一般会怎么考?(全国卷)

5.高三总复习 数列部分 高考题 求解析

6.求 高考数列各种主要题型

7.高考数列题

你是上海的吗？我只知道上海的。高考卷一般在填空和大题目里出数提，有时选择也有。填空一般不算难如果是最后一两道就算难了。大题数列放最后很多的，今年就是。大题一般先给出此数列满足的条件，一般先求数列再利用通项公式求进一步的问题。小题形式比较活说不大清。以上是形式。至于考点 掌握等比等差数列的通项公式 求和公式，无穷等比数列求和公式，即利用递推关系求通项公式，这些是必须的。另外要考好建议要掌握些特殊的求和方法：列项相消法 倒序相加法 错位相减法 分组求和法等。还要了解一些特殊数列。如等积数列等和数列等差比数列等。有助于解题

数列问题（高考题）越快越好，要有解答。

a1=1,a(n+1)=an+1/an

（1）不知道要证明啥

（2）证明√(2n-1)≤an≤√(3n-2)

（3）求正整数m使得|a2017-m|最小

（2）

经验证n=1，2，3，4时不等式都成立，假设当n=N时不等式成立，即√(2N-1)≤aN≤√(3N-2)，则2N-1≤aN^2≤3N-2。

则当n=N+1时，2(N+1)-1<2N-1+2+1/(3N-2)≤a(N+1)^2=aN^2+1/aN^2+2≤3N-2+2+1/(2N-1)≤3N-2+2+1=3(N+1)-2

所以√[2(N+1)-1]≤a(N+1)≤√[3(N+1)-2]

所以当n=N+1时，不等式也成立。即对于任意正整数n，都有√(2n-1)≤an≤√(3n-2)。

（3）

由（2）可知√3969=63<√4033≤a2017≤√6049<78=√6084,

为了方便，我们把a2017往回走遍历a2016，a2015，...，an的做法叫下行，而往前遍历a2018，a2019，...，ak的做法叫上行。

1/78<a2017-a2016=1/a2016<1/63,1/78<a2018-a2017=1/a2017<1/63

则上两式表明下行时最多不超过78次，an的值就要比a2017减小1；而上行时，最少要63次ak的值才比a2017增加1.因为下行时an减小的速度会越来越快，而上行时增加的速度会越来越慢。

现在来看a(2017-78)=a1939和a(2017+63)=a2080的情况

62<√3877≤a1939≤√5815<77，<√4159≤a2080≤√6238<79

4033≤a2017^2≤6049

4033=3n-2,n=1345;6049=2n-1,n=3025,3025-1345=1680

则2689≤a1345^2≤4033,6049≤a3025^2≤9073,6049-2689=3360=1680*2,下限不计

2691≤a1346^2≤4036,6047≤a3024^2≤9070

1/4033+2≤a1346^2-a1345^2=1/a1345^2+2≤1/2689+2

1/9070+2≤a3025^2-a3024^2=1/a3024^2+2≤1/6047+2

2017-1345=672,上限为4033+672*2=5377,672/4033<误差<672/2689

3025-2017=1008，下限为6049-1008*2=4033

3025-1345=1680,4033+1680*2=7393，7393-1008*2=5377

2689=3n-2，n=897，1793≤a897^2≤2689，1795≤a898^2≤2692，

2+1/2689≤a898^2-a897^2=1/a897^2+2≤2+1/1793

2017-897=1120,2689+1120*2=4929=a2017^2上限，1120/2689<误差<1120/1793

1793=3n-2,n=599,1197≤a599^2≤1795,

2+1/1795≤a600^2-a599^2=2+1/a599^2≤2+1/1197

2017-599=1418,1795+1418*2=4633=a2017^2上限，1428/1795<误差<1418/1197

1197+1=3n-2,n=400,799≤a400^2≤1198,

2+1/1198≤a401^2-a400^2=2+1/a400^2≤2+1/799

2017-400=1617,1201+1617*2=4435=a2017^2上限，1617/1198<误差<1616/799

799=3n-2,n=267,533≤a267^2≤799,

2+1/799≤a268^2-a267^2=2+1/a267^2≤2+1/533

2017-267=1750,799+1750*2=4299=a2017^2上限，1750/799<误差<1750/533

533+1=3n-2,n=179,357≤a179^2≤535,

2+1/535≤a268^2-a267^2=2+1/a267^2≤2+1/357

2017-179=1750,535+1838*2=4211=a2017^2上限，1838/535<误差<1838/357

359-1=3n-2,n=120,239≤a120^2≤358,

2+1/358≤a121^2-a120^2=2+1/a120^2≤2+1/239

2017-120=1750,358+1897*2=4152=a2017^2上限，4<1897/358<误差<1897/239<8

到此终于可以结束了，因为a2017^2上限4152即使加上最大误差8开方后也小于.5，

而a2017^2下限4033开方后大于63.5，所以m=.

急啊！！快高考了，如何学数列？

Xn=PXn-1-QXn-2

Xn-PXn-1+QXn-2=0 --------------(1)

将其化成下面格式(待定系数法):

Xn-A*Xn-1=B(Xn-1-AXn-2) ------------(2)

将(2)式展开,然后与(1)式的各项比较得:

A+B=P -------------(3)

A*B=Q -------------(4)

因此A,B为X^2-PX+Q=0的两根.不防设A=α，B=β

Xn-α*Xn-1=β(Xn-1-αXn-2) ----------------(5)

依(5)的递推式(分别代入n-1,n-2,n-3,...,4,3得:

Xn-1-α*Xn-2=β(Xn-2-αXn-3)-----------------(5.1)

Xn-2-α*Xn-3=β(Xn-3-αXn-4)-----------------(5.2)

Xn-3-α*Xn-4=β(Xn-4-αXn-5)-----------------(5.3)

......

X4-α*X3=β(X3-αX2)-----------------(5.n-4)

X3-α*X2=β(X2-αX1)-----------------(5.n-3)

(5)*(5.1)*(5.2)*(5.3)*...*(5.n-4)*(5.n-3)并消掉相同项:

Xn-α*Xn-1=(X2-αX1)*β^(n-2)

Xn=(X2-αX1)*β^(n-2) + α*Xn-1

=(X2-αX1)*β^(n-2) + (X2-αX1)*β^(n-3)*α + α^2*Xn-2

=(X2-αX1)*β^(n-2) + (X2-αX1)*β^(n-3)*α + (X2-αX1)*β^(n-4)*α^2 + α^2*Xn-2

... ...

=(X2-αX1)*β^(n-2) + (X2-αX1)*β^(n-3)*α + (X2-αX1)*β^(n-4)*α^2+...+(X2-αX1)*β^(n-m)*α^(m-2)+...+(X2-αX1)*α^(n-2) + α^(n-1)*X1

等比数列求和(公比为:α/β) + α^(n-1)*X1

过程比较复杂,建议你参考:

斐波那挈数列通项公式的推导:

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：

F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

显然这是一个线性递推数列。

通项公式的推导方法一：利用特征方程

线性递推数列的特征方程为：

X^2=X+1

解得

X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n

∵F(1)=F(2)=1

∴C1*X1 + C2*X2

C1*X1^2 + C2*X2^2

解得C1=1/√5，C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}√5表示根号5

通项公式的推导方法二：普通方法

设常数r,s

使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

则r+s=1, -rs=1

n≥3时，有

F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]

F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]

……

F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]

将以上n-2个式子相乘，得：

F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]

∵s=1-r，F(1)=F(2)=1

上式可化简得：

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

那么：

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)

……

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)

（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）

=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)

=(s^n - r^n)/(s-r)

r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2

则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

高考中求数列的通项公式共有几种方法。

求数列通项公式的常规思想方法列举（配典型例题）

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。

一． 观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…

（2）

（3）

（4）

解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……

∴通项公式为：

（2） （3） （4） .

观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。

二、定义法

例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，

(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，

∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，

∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，

∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，

∴bn=b?qn－1=4?(－2)n－1

当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

三、 叠加法

例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。

解 易知

∵

……

各式相加得 ∴

一般地，对于型如 类的通项公式，只要 能进行求和，则宜采用此方法求解。

四、叠乘法

例4：在数列｛ ｝中， =1, (n+1)? =n? ，求 的表达式。

解：由(n+1)? =n? 得 ，

= … = 所以

一般地，对于型如 = (n)? 类的通项公式，当 的值可以求得时，宜采用此方法。

五、公式法

若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式

求解。

例5：已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。

（1） 。 （2）

解： （1）

= = =3

此时， 。∴ =3 为所求数列的通项公式。

（2） ，当 时

由于 不适合于此等式 。 ∴

注意要先分n=1和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

例6. 设数列 的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系

求证：数列 是等比数列。

解析：因为

所以

所以，数列 是等比数列。

六、阶差法

例7.已知数列 的前 项和 与 的关系是

，其中b是与n无关的常数，且 。

求出用n和b表示的an的关系式。

解析：首先由公式： 得：

利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即

其和为 。

七、待定系数法

例8：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn

解：设

点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， （b、c为常数），若数列 为等比数列，则 ， 。

八、 辅助数列法

有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。

例9.在数列 中， ， ， ，求 。

解析：在 两边减去 ，得

∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，

∴ ，由累加法得

=

= … = =

=

例10.（2003年全国高考题）设 为常数，且 （ ），

证明：对任意n≥1，

证明：设，

用 代入可得

∴ 是公比为 ，首项为 的等比数列，

∴ （ ），

即：

型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等.

(1)f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。

例11：已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。

解：∵ ∴

令

则辅助数列 是公比为2的等比数列

∴ 即 ∴

例12： 已知数列｛ ｝中 且 （ ），，求数列的通项公式。

解：∵

∴ ， 设 ，则

故｛ ｝是以 为首项，1为公差的等差数列

∴ ∴

例13.（07全国卷Ⅱ理21）设数列 的首项 ．

（1）求 的通项公式；

解：（1）由

整理得 ．

又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，得

注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成

则{ }成等比数列，实际上，这里的 是特征方程x=px+q的根。

(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得 ，令bn= ，可转化为bn+1=pbn+q的形式。

例14.已知数列{an}中，a1= ， an+1= an+（ ）n+1，求an的通项公式。

解：an+1= an+（ ）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1= (2nan)+1 令bn=2nan 则 bn+1= bn+1

易得 bn= 即 2nan=

∴ an=

(3) f(n)为等差数列

例15.已知已知数列{an}中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通项公式。

解：∵ an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2

因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), ∴ an= 。

注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。

(4) f(n)为非等差数列，非等比数列

例16.（07天津卷理）在数列 中， ，其中 ．

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

解：由 ， ，

可得 ，

所以 为等差数列，其公差为1，首项为0，故 ，所以数列 的通项公式为 ．

这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。

九、归纳、猜想

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

例17.（2002年北京春季高考）已知点的序列 ，其中 ， ， 是线段 的中点， 是线段 的中点，…， 是线段 的中点，…

（1） 写出 与 之间的关系式（ ）。

（2） 设 ，计算 ，由此推测 的通项公式，并加以证明。

（3） 略

解析：（1）∵ 是线段 的中点， ∴

（2） ，

= ，

= ，

猜想 ，下面用数学归纳法证明

当n=1时， 显然成立；

假设n=k时命题成立，即

则n=k+1时， =

=

∴ 当n=k+1时命题也成立，∴ 命题对任意 都成立。

例18：在数列｛ ｝中， ，则 的表达式为 。

分析：因为 ，所以得： ，

猜想： 。

十、倒数法

数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出

例19．设数列 满足 求

解：原条件变形为 两边同乘以 得 .

∵

∴

综而言之，等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项基本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.

高考数列一般会怎么考?(全国卷)

高考中求数列的通项公式主要有以下七种方法，具体情况说明如下：

1.

公式法，当题意中知道，某数列的前n项和sn，则可以根据公式求得an=sn-s(n-1).

2.

待定系数法：若题目特征符合递推关系式a1＝A,an＋1＝Ban＋C(A,B,C均为常数，B≠1,C≠0)时，可用待定系数法构造等比数列求其通项公式。

3.

逐项相加法：若题目特征符合递推关系式a1＝A(A为常数)，an+1=an+f(n)时，可用逐差相加法求数列的通项公式。

4.

逐项连乘法：若题目特征符合递推关系式a1=A（A为常数）,an+1=f(n)?an时，可用逐比连乘法求数列的通项公式。

5.

倒数法：若题目特征符合递推关系式a1=A,Ban+Can+1+Dan·an+1=0，(A,B,C,D均为常数)时，可用倒数法求数列的通项公式。

6.

其他观察法或归纳法等。

高三总复习 数列部分 高考题 求解析

高考都结合等差等比的基本公式，前N项和公式，错位相减，累计求和等，还有对于没位错一个公比的还可以乘公比最后相减，有时候他想难你就加点对于函数感念的考察，也就这么多，再多就出纲了吧，我遇到的都是这些，数列不难的，多练，见点题型，很好做的，祝你成功！！！

求 高考数列各种主要题型

7.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5/a3=5/9,则S9/S5=多少？

∵{an}是等差数列

∴S9=(a1+a9)*9/2=2*9a5/2=9a5

S5=(a1+a5)*5/2=2a3*5/2=5a3

∴S9/S5=9a5/(5a3)=9/5*5/9=1

8.∵{an}等差数列的前n项之和，

∴ S4=4a1+6d , S8=8a1+8*7d/2=8a1+28d

∵ S4/S8=1/3

∴3(4a1+6d)=8a1+28d

∴ 2a1=5d

∴S8/S16=(8a1+28d)/(16a1+120d)

=48d/(160d)=3/10

法2：

∵ S8=3S4 ，

∴ S8-S4=2S4 ，

S12-S8=3S4 ，

S16-S12=4S4

∴S16-S4=9S4

∴S16=10S4

∴S8/S16=3/10

9.（04全国卷一文17）等差数列{an}的前n项和记为Sn已知a10=30，a20=50.

(1)求通项an;

∵ 等差数列{an} a10=30，a20=50.

∴a1+9d=30 ,a1+19d=50

∴d=2,a1=12

∴an=12+2(n-1)=2n+10

(2)

∵Sn=242

∴(12+2n+10)n/2=242

∴(n+11)n=22×11

∴n=11

高考数列题

求数列通项公式的常规思想方法列举（配典型例题）

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。

一． 观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…

（2）

（3）

（4）

解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……

∴通项公式为：

（2） （3） （4） .

观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。

二、定义法

例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，

(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，

∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，

∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，

∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，

∴bn=b?qn－1=4?(－2)n－1

当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

三、 叠加法

例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。

解 易知

∵

……

各式相加得 ∴

一般地，对于型如 类的通项公式，只要 能进行求和，则宜采用此方法求解。

四、叠乘法

例4：在数列｛ ｝中， =1, (n+1)? =n? ，求 的表达式。

解：由(n+1)? =n? 得 ，

= … = 所以

一般地，对于型如 = (n)? 类的通项公式，当 的值可以求得时，宜采用此方法。

五、公式法

若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式

求解。

例5：已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。

（1） 。 （2）

解： （1）

= = =3

此时， 。∴ =3 为所求数列的通项公式。

（2） ，当 时

由于 不适合于此等式 。 ∴

注意要先分n=1和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

例6. 设数列 的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系

求证：数列 是等比数列。

解析：因为

所以

所以，数列 是等比数列。

六、阶差法

例7.已知数列 的前 项和 与 的关系是

，其中b是与n无关的常数，且 。

求出用n和b表示的an的关系式。

解析：首先由公式： 得：

利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即

其和为 。

七、待定系数法

例8：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn

解：设

点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， （b、c为常数），若数列 为等比数列，则 ， 。

八、 辅助数列法

有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。

例9.在数列 中， ， ， ，求 。

解析：在 两边减去 ，得

∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，

∴ ，由累加法得

=

= … = =

=

例10.（2003年全国高考题）设 为常数，且 （ ），

证明：对任意n≥1，

证明：设，

用 代入可得

∴ 是公比为 ，首项为 的等比数列，

∴ （ ），

即：

型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等.

(1)f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。

例11：已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。

解：∵ ∴

令

则辅助数列 是公比为2的等比数列

∴ 即 ∴

例12： 已知数列｛ ｝中 且 （ ），，求数列的通项公式。

解：∵

∴ ， 设 ，则

故｛ ｝是以 为首项，1为公差的等差数列

∴ ∴

例13.（07全国卷Ⅱ理21）设数列 的首项 ．

（1）求 的通项公式；

解：（1）由

整理得 ．

又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，得

注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成

则{ }成等比数列，实际上，这里的 是特征方程x=px+q的根。

(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得 ，令bn= ，可转化为bn+1=pbn+q的形式。

例14.已知数列{an}中，a1= ， an+1= an+（ ）n+1，求an的通项公式。

解：an+1= an+（ ）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1= (2nan)+1 令bn=2nan 则 bn+1= bn+1

易得 bn= 即 2nan=

∴ an=

(3) f(n)为等差数列

例15.已知已知数列{an}中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通项公式。

解：∵ an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2

因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), ∴ an= 。

注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。

(4) f(n)为非等差数列，非等比数列

例16.（07天津卷理）在数列 中， ，其中 ．

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

解：由 ， ，

可得 ，

所以 为等差数列，其公差为1，首项为0，故 ，所以数列 的通项公式为 ．

这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。

九、归纳、猜想

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

例17.（2002年北京春季高考）已知点的序列 ，其中 ， ， 是线段 的中点， 是线段 的中点，…， 是线段 的中点，…

（1） 写出 与 之间的关系式（ ）。

（2） 设 ，计算 ，由此推测 的通项公式，并加以证明。

（3） 略

解析：（1）∵ 是线段 的中点， ∴

（2） ，

= ，

= ，

猜想 ，下面用数学归纳法证明

当n=1时， 显然成立；

假设n=k时命题成立，即

则n=k+1时， =

=

∴ 当n=k+1时命题也成立，∴ 命题对任意 都成立。

例18：在数列｛ ｝中， ，则 的表达式为 。

分析：因为 ，所以得： ，

猜想： 。

十、倒数法

数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出

例19．设数列 满足 求

解：原条件变形为 两边同乘以 得 .

∵

∴

综而言之，等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项基本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.

(1)证明：

因为S(n+1)=3Sn+2，所以S(n+1)+1=3Sn+3=3(Sn+1).

因为S1+1=2+1=3≠0，所以Sn+1≠0，因此[S(n+1)+1]/(Sn+1)=3.

所以数列{Sn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列.

所以Sn+1=(S1+1)*q^(n-1)=3*3^(n-1)=3^n，因此Sn=3^n-1.

(2)解：

当n=1时，a1=S1=2；

当n>1时：

Sn=3^n-1

S(n-1)=3^(n-1)-1.

所以an=Sn-S(n-1)=(3^n-1)-[3^(n-1)-1]=3*3^(n-1)-1*3^(n-1)=2*3^(n-1).

因为a1=2，符合上式，所以通项公式an=2*3^(n-1).