广东2013高考数学答案_2013年高考数学广东卷

广东省2014年高考理科数学第19题答案如下：

（1）首先，由Sn的公式可以很容易的求出a1，因为S1=a1，带入到式子中，a1=2a2-7，同时，将n=2代入式子，则S2=a1+a2=4（15-a1-a2）-20，则a1+a2=8，将两式子联立，得a1=3，a2=5，因S3=15，故a3=7，所以a1=3、a2=5、a3=7。以上是第一问的标准解法。

（2）第二问是本题的难点，在解决数列问题时，有很多公式和技巧可以使用，本题则应用了最为普遍的解法：Sn-Sn-1=an，同样地，S（n+1）-Sn=a（n+1），将n+1和n代入Sn的通项公式中，得到如下图的公式：

很显然的，这个式子不是我们需要的通项公式，接下来我们就要利用其他条件了，观察第一问，根据a1=3、a2=5、a3=7，我们不难猜想，an=2n+1，但是猜想终归是猜想，我们需要进行证明，证明采用一种比较常规的证明方法：数学归纳法。

我们分为两种情况进行证明：①当n=1时，代入上面的式子（将中的式子命名为式子a）中，发现式子a符合2n+1这个式子，即证明当n=1时，确实满足an=2n+1。

②仅证明n=1是不可以的，我们需要证明当n=k（k属于n*时）仍然符合式子a，首先我们假设，n=k符合，然后证明n=k+1符合即可，假设n=k符合，则an=2k+1，那么这就是已知条件了，代入式子a，很容易导出，a（k+1）=2k+3=2（k+1）+1，假设n=k符合式子a，证明了n=k+1符合式子a，也就证明了an=2n+1是通项公式，本题作答结束。

本题运用的难点思想就是，需要假设n=k成立，然后证明n=k+1成立，可以这样想，当这个式子不断往后加1都是成立的，就说明这个式子不是只在某一部分符合，就像我们已知了a1、a2，a3，那么证明a4成立，然后已知a4成立，再证明a5成立，这样无穷尽的证明，发现只要k成立，k+1就成立，那么这个式子就是一个符合要求的通项公式。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A

数学（理科）

本试卷共4页，21题，满分150分。考试用时120分钟。

参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高。

锥体的体积公式为，其中为锥体的底面积，为锥体的高。[来源:学|科|网Z|X|X|K]

一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

设为虚数单位，则复数=

A． B． C． D．

答案D

设集合，， 则=

A ． B． C． D．

答案C

若向量，，则

A． B． C． D．

答案A

下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是

A． B． C． D．

答案A

已知变量满足约束条件，则的最大值为

A．12 B．11 C．3 D．－1

答案B

某几何体的三视图如图1所示，它的体积为

A．12π B．45π C．57π D．81π

答案C

从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是

A． B． C． D．

答案D

对任意两个非零的平面向量α和β，定义。若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=

A． B. 1 C. D.

解析：因为，

且和都在集合中

所以，，，所以

所以，故有

答案B

二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9-13题）

不等式的解集为_____。

答案

的展开式中的系数为______。（用数字作答）

答案20

已知递增的等差数列满足，，则=____。

答案[来源:学_科_网Z_X_X_K]

曲线在点（1，3）处的切线方程为 。

答案[来源:学#科#网]

执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为 。

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

答案8

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为

（为参数）和（为参数），则曲线和的交点坐标为_______。

答案（1，1）

15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_____________。

答案

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分）

已知函数，（其中，）的最小正周期为10π。

（1）求的值；[来源:学科网]

（2）设，，，求的值。

答案（1）；（2）

17. （本小题满分13分）

某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50]，[50,60]，[60,70]，[70,80]，[80,90]，[90,100]。

（1）求图中的值；

（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望。

答案（1）；（2）

0 1 2

[来源:学§科§网]

18.（本小题满分13分）

如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。

证明：BD⊥平面PAC；

若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

答案（1）略；（2）

19. （本小题满分14分）[来源:学科网ZXXK]

设数列的前项和为，满足，，且，，成等差数列。

求的值；[来源:Z#xx#k.Com]

求数列的通项公式。

证明：对一切正整数，有.

解答（1）；（2）；

（3）当时

又因为

所以，

所以，

所以，

20.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3。

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O：相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由。

解答：（1）由，所以

设是椭圆上任意一点，则，所以

所以，当时，有最大值，可得，所以[来源:学&科&网Z&X&X&K]

故椭圆的方程为：

（2）因为在椭圆上，所以，

设，

由，得[来源:Zxxk.Com]

所以，，可得

并且：，

所以，

所以，

设点O到直线AB的距离为，则

所以

设，由，得，所以，

所以，当时，面积最大，最大为。

此时，

21.（本小题满分14分）

设，集合，，。

（1）求集合（用区间表示）

（2）求函数在内的极值点。

解答：（1）对于方程

判别式

因为，所以

当时，，此时，所以；

当时，，此时，所以；

当时，，设方程的两根为且，则

当时，，，所以

此时，

当时，，所以

此时，

（2），

所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数

当时，因为，所以在D内没有极值点；

当时，，所以在D内有极大值点；

当时，

由，很容易得到

（可以用作差法，也可以用分析法）

所以，在D内有极大值点；

当时，

由，很容易得到

此时，在D内没有极值点。

综上：当或时，在D内没有极值点；

　当时，在D内有极大值点。