2005辽宁高考数学解析_2005辽宁高考数学

1.辽宁数学难吗

设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1中点，求平面B1DE和底面ABCD所成的二面角

因 E 点在底面 ABCD 的射影为 A，B1 点射影为 B ，所以△EB1C 在底面 ABCD 内的射影三角形为 Rt△ABC.

设正方体棱长为 a ，则 .

又在△EB1C 中， ，

设面 EB1C 和面 ABCD 所成的二面角为 θ，

则 .

所以所求二面角的大小为

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（ ）

A． B． C． D．

2．若函数为偶函数，则a=（ ）

A． B． C． D．

3．圆与直线没有公共点的充要条件是（ ）

A． B．

C． D．

4．已知，，，，则（ ）

A． B． C． D．

5．已知四边形的三个顶点，，，且，则顶点的坐标为（ ）

A． B． C． D．

6．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）

A． B． C． D．

8．将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（ ）

A． B． C． D．

9．已知变量满足约束条件则的最大值为（ ）

A． B． C． D．

10．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）

A．24种 B．36种 C．48种 D．72种

11．已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

12．在正方体中，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线（ ）

A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．函数的反函数是 ．

14．在体积为的球的表面上有A、B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________．

15．展开式中的常数项为 ．

16．设，则函数的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在中，内角对边的边长分别是，已知，．

（Ⅰ）若的面积等于，求；

（Ⅱ）若，求的面积．

18．（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

周销售量 2 3 4

频数 20 50 30

（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求

（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；

（ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF‖，截面PQGH‖．

（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，

并求出这个值；

（Ⅲ）若，求与平面PQEF所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

在数列，是各项均为正数的等比数列，设．

（Ⅰ）数列是否为等比数列？证明你的结论；

（Ⅱ）设数列，的前项和分别为，．若，，求数列的前项和．

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？

22．（本小题满分14分）

设函数在，处取得极值，且．

（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供文科考生使用）试题

参考答案和评分参考

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共60分．

1．D 2．C 3．B 4．C 5．A 6．A

7．C 8．A 9．B 10．B 11．D 12．D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

13． 14． 15． 16．

三、解答题

17．本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力．满分12分．

解：（Ⅰ）由余弦定理得，，

又因为的面积等于，所以，得． 4分

联立方程组解得，． 6分

（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为， 8分

联立方程组解得，．

所以的面积． 12分

18．本小题主要考查频率、概率等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． 4分

（Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为

（ⅰ）． 8分

（ⅱ）． 12分

19．本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．

解法一：

（Ⅰ）证明：在正方体中，，，又由已知可得

，，，

所以，，

所以平面．

所以平面和平面互相垂直． 4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

，是定值． 8分

（Ⅲ）解：设交于点，连结，

因为平面，

所以为与平面所成的角．

因为，所以分别为，，，的中点．

可知，．

所以． 12分

解法二：

以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz．由已知得，故

，，，，

，，，

，，．

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得

，

，

．

因为，所以是平面PQEF的法向量．

因为，所以是平面PQGH的法向量．

因为，所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分

（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．

在所建立的坐标系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值． 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．

由为中点可知，分别为，，的中点．

所以，，因此与平面所成角的正弦值等于

． 12分

20．本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）是等比数列． 2分

证明：设的公比为，的公比为，则

，故为等比数列． 5分

（Ⅱ）数列和分别是公差为和的等差数列．

由条件得，即

． 7分

故对，，…，

．

于是

将代入得，，． 10分

从而有．

所以数列的前项和为

． 12分

21．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为． 4分

（Ⅱ）设，其坐标满足

消去y并整理得，

故． 6分

，即．

而，

于是．

所以时，，故． 8分

当时，，．

，

而

，

所以． 12分

22．本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．满分14分

解：．① 2分

（Ⅰ）当时，

；

由题意知为方程的两根，所以

．

由，得． 4分

从而，．

当时，；当时，．

故在单调递减，在，单调递增． 6分

（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，

所以．

从而，

由上式及题设知． 8分

考虑，

． 10分

故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．

又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．

所以，即的取值范围为． 14分

辽宁数学难吗

辽宁高考政策分为考试科目与内容、考试时间与分值、招生录取方式、保障措施与监督机制等。

1、考试科目与内容：

辽宁高考政策实行“3+1+2”模式，其中“3”为全国统一的高考科目，包括语文、数学和外语三个科目；“1”为考生在物理和历史两个科目中选择一个科目作为自己的高考科目。

“2”为考生在思想政治、地理、化学、生物学四个科目中选择两个科目作为自己的高考科目。此外，辽宁高考政策还设置了学业水平考试，包括合格性考试和选择性考试，其中选择性考试的成绩将计入考生总成绩。

2、考试时间与分值：

辽宁高考政策中的考试时间与分值也有所规定。全国统一的高考科目语文、数学和外语的考试时间均为150分钟，每门科目的分值均为150分。而物理和历史两个科目的考试时间为90分钟，每门科目的分值为100分。

思想政治、地理、化学、生物学四个科目的考试时间为75分钟，每门科目的分值为100分。选择性考试的成绩将按照等级赋分的方式计入考生总成绩，其中物理和历史两门科目的选择性考试成绩还将以原始分的形式计入考生总成绩。

3、招生录取方式：

辽宁高考政策的招生录取方式也进行了相应的改革。自2021年起，辽宁省普通高校招生录取方式将实行“两依据一参考”的招生录取模式，即依据高考成绩和学业水平考试成绩，参考综合素质评价信息进行录取。

同时，辽宁高考政策还设置了综合评价录取、高水平运动队招生、高水平艺术团招生等多种招生录取方式，以满足不同类型高校选拔人才的需求。

4、保障措施与监督机制：

为了确保辽宁高考政策的顺利实施和公平公正，政策中还规定了一系列保障措施与监督机制。其中包括加强命题师资队伍建设，提高命题质量；加强考试管理，确保考试安全；加强招生管理，规范招生行为；建立完善的监督机制，对违规行为进行严厉查处等措施。

同时，政策还鼓励社会各界对高考政策的实施进行监督和评价，以不断完善政策体系和提高政策实施效果。

辽宁数学难度总体来说难度不大，属于难度适中的题目，具体评价如下：

评价一：

2023年辽宁省高考数学试卷总体来说不难。辽宁高考数学试题难度每年都会注意调控，坚持数学科高考的基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，贯彻了“低起点，多层次，高落差”的调控策略，发挥了辽宁高考数学试卷的选拔功能和良好的导向作用。

今年辽宁高考数学试题的填空题的分值增加许多，其得分情况对高考成绩大有影响，所以答题时要给予足够的精力和时间，填空的解法主要有：直接求解法、特例求解法、数形结合法，解题时灵活应用。

评价二：

2023年辽宁高考数学试题难度总体来说比较适中，辽宁高考数学试卷是新高考2卷。辽宁高考数学试题，成绩分差一般会比较大，考生们对于考试难度的看法也是不同的，还是要因人为而异的。

辽宁高考数学试卷难度单单从试卷的试题本身来说，这个和每个人的知识点掌握程度和擅长的题目类型有关系，还和个人的临场发挥有关联，高考考生现场状态非常重要。

全国高考难度排名前三的省份如下：

第一名：河南省

河南作为高考大省，河南高考难度大是有目共睹的。根据往年统计数据，河南高考本科录取率：一本录取率为7.8%和11%，“211大学”录取率为4.1%和2.6%，“985大学”录取率为1.1%和0.84%，各项录取率均排名全国倒数第一。

河南高考内卷程度可想而知，河南考生想要考上重点大学，势必要比其他省份考生更加困难，付出更多的努力。

第二名：江苏省

江苏省基础教育水平很高，高考试卷的难度很大，被称为全国第一，再加上江苏高考改革一直走在全国前列，所以江苏省高考也备受关注。

此前自主命题时，江苏省试卷难度系数很大，英语试卷居然不输给大学四级，理科综合更是难哭了不少考生。江苏省拥有“211高校”11所，“985高校”两所，却把大量名额投放给了外省学生，江苏省考生人数33万，一本录取率12.1%，远低于北京、上海。

第三名：河北省

河北省基础教育水平很高，培养出了不少高分学霸。但是在高等教育方面，只能排全国倒数。河北省重点大学数量跟河南是难兄难弟，都只有一所“211大学”，河北工业大学。

河北2020年考生只有43.6万，一本录取率高达14.6%，将近河南的两倍。没有对比就没有伤害河南考生太难了。