数学高考经典题,50道数学经典高考题

1.高一50道经典数学题，有难且有答案

巩固

1．函数f(x)＝1x－x的图象关于(　　)

A．y轴对称 B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称

解析：选C.∵f(x)的定义域{x∈R|x≠0}，关于原点对称，

又f(－x)＝1－x－(－x)＝－(1x－x)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．故选C.

2．函数y＝ln(1－x)的图象大致为(　　)

解析：选C.本题中由于我们比较熟悉y＝lnx的图象，它的图象是位于y轴右边过点(1,0)且有上升趋势的图象．接着y＝ln(－ x)的图象是由y＝lnx的图象关于y轴翻折到y轴左边所得．再将所翻折图象向右移一个 单位即得y＝ln[－(x－1)]＝ln(1－x)的图象．

3．(原创题)如右图所示，已知圆x2＋y2＝4，过坐标原点但不与x 轴重合的直线l、x轴的正半轴及圆围成了两个区域，它们的面积分别为p和q，则p关于q的函数图象的大致形状为图中的(　　)

解析：选B.因p＋q为定值，故选B.

4.已知下列曲线：

以下编号为①②③④的四个方程：

① x－y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.

请按曲线A、B、C、D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________．

解析：按图象逐个分析，注意x、y的取值范围．

答案：④②①③

5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________．

解析：由奇函数图象的特征可得f(x)在 [－5,5]上的图象．由图象可解出结果．

答案：{x|－2＜x＜0或2＜x≤5}

6．(1)作函数y＝|x－x2|的图象；

(2)作函数y＝x2－|x|的图象．

解：(1)y＝x－x2，0≤x≤1，－(x－x2)，x＞1或x＜0，

即y＝－(x－12)2＋14，0≤x≤1，(x－12)2－14，x＞1或x＜0，其图象如图①所示．

(2)y＝x2－x，x≥0，x2＋x，x<0，

即y＝(x－12)2－14，x≥0，(x＋12)2－14，x＜0，其图象如图②所示．

练习

1．有一空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直至把容器注满，在注水过程中水面的高度变化曲线如图索示，其中PQ为一线段，则与此图相对应的容器的形状是(　　)

解析：选C.由函数图象可判断出该容器必定有不规则形状，再由PQ为直线段，容器上端必是直的一段，故可排除ABD，选C.

2．(2009年高考安徽卷)设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是(　　)

解析：选C.当x＞b时，y＞0，x＜b时，y≤0.故选C.

3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝log0.5f(x)的图象大致是(　　)

解析：选C.由同增异减的单调性原则可得：当x∈(0,1)时y＝log0.5f(x)为增函数，且y＜0，当x∈(1,2)时y＝log0.5f(x)为减函数，且－1＜y＜0，分析各选项易知只有C符合上述条件．

4．(2009年高考北京卷)为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上 所有的 点(　　)

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

解析：选C.∵y＝lgx＋310＝lg(x＋3)－1，∴将y＝lgx的图象上的点向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋ 3)的图象，再将y＝lg(x＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y＝lg(x＋3)－1的图象．

5.下列函数的图象，经过平移或翻折后不能与函数y＝log2x的图象重合的函数是(　　)

A．y＝2x　　　　　　　B．y＝log12x

C．y＝12?4x D．y＝log21x＋1

解析：选C.y＝log2x与y＝2x关于y＝x对称；y＝log2x与y＝log12x关于x轴对称；而y＝log21x＋1的图象可由y＝log2x的图象翻折再平移得到．

6．函数f(x)的图象是两条直线的一部分(如图所示)，其定义域 为[－1,0)∪(0,1]，则不等式f(x)－f(－x)＞－1的解集是(　　)

A．{x|－1≤x≤1且x≠0}

B．{x|－1≤x＜0}

C．{x|－1≤x＜0或12＜x≤1}

D．{x|－1≤x＜－12或0＜x≤1}

解析：选D.由图可知，f(x)为奇函数．

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)－f(－x)＞－1

7．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(1f(3))的值等于________．

解析：∵f(3)＝1，∴1f(3)＝1，

∴f(1f(3))＝f(1)＝2.

答案：2

8．函数y＝f(x)(x∈[－2,2])的图象如图所示，则f(x)＋f(－x)＝________.

解析：由图象可知f(x)为定义域上的奇函数．

∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.

答案：0

9．已知函数f(x)＝2－x2，g(x)＝x.若f(x)*g(x)＝min{f(x)，g(x)}，那么f(x)*g(x)的最大值是________．(注意：m in表示最小值)

解析：画出示意图

f(x)*g(x)＝ 2－x2，x≤－2，x，－2＜x＜1，2－x2，x≥1

其最大值为1.

答案：1

10．已知函数f(x)＝

(1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间．

解：(1)函数f(x)的图象如图所示．,

(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．

11.若1＜x＜3，a为何值时，x2－5x＋3＋a＝0有两解、一解、无解？

解：原方程化为：a＝－x2＋5x－3，①,作出函数y＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的图象如图．

显然该图象与直线y＝a的交点的横坐标是方程①的解，由图可知：当3＜a＜134时，原方程有两解；

当1＜a≤3或a＝134时，原方程有一解；

当a＞134或a≤1时，原方程无解．

12．已知函数f(x)＝m(x＋1x)的图象与h(x)＝14(x＋ 1x)＋2的图象关于点A(0,1)对称．

(1)求m的值；

(2)若g(x)＝f(x)＋a4x在(0,2]上是减函数，求实数a的取值范围．

解：(1)设P(x，y)是h(x)图象上一点，点P关于A(0,1)的对称点为Q(x0，y0)，则x0＝－x，y0＝2－y.

∴2－y ＝m(－x－1x)，

∴y＝m(x＋1x)＋2，从而m＝14.

(2)g(x)＝14(x＋1x)＋a4x＝14(x＋a＋1x)．

设0<x1<x2≤2，

则g(x1)－g(x2)＝14(x1＋a＋1x1)－14(x2＋a＋1x2)

＝14(x1－x2)＋14(a＋1)?x2－x1x1x2

＝14( x1－x2)?x1x2－(a＋1)x1x2>0，

并且在x1，x2∈(0,2]上恒成立，

∴x1x2－(a＋1)<0，∴1＋a>x1x2,1＋a≥4，∴a≥3.

巩固（二）

1．(2010年皖南八校联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝(　　)

A．3　　　　　　　　　　B．－3

C．2 D．7

解析：选C.由题意得f(3)＋f(0)＝－f(－3)＋f(0)＝2＋0＝2.故选C.

2．(2009年高考福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是(　　)

A．f(x)＝1x B．f(x)＝(x－1)2

C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)

解析：选A.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

在A中，由f′(x)＝－1x2＜0得f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；

在B中，由f′(x)＝2(x－1)＜0得x＜1，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数．

在C中，由f′(x)＝ex＞0知f(x)在R上为增函数．

在D中，由f′(x )＝1x＋1且x＋1＞0知f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．

3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|1x|)＜f(1)的实数x的 取值范围是(　　)

A．(－1,1) B．(0,1)

C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选C.∵f(x)在R上为减函数且f(|1x|)＜f(1)，

∴|1x|＞1，

即|x|＜1 且x≠0，得－1＜x＜0或0＜x＜1.

4．(原创题)已知f(x)＝x2＋x，则f(a＋1a)________f(1)．(填“≤”“≥”)．

解析：∵a＋1a≥2或a＋1a≤－2，

f(x)的对称轴为x＝－12.

∴f(x)在(－12，＋∞)上为增函数，

在(－∞，－12)上为减函数．

又f(2)＝22＋2＝6>2＝f(1)，

f(－2)＝(－2)2＋(－2)＝2＝f(1)，

∴f(a＋1a)≥f(1)．

答案：≥

5．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________________.

解析：由于f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，

可知b≠0，∴f(x)为二次函数，

f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)

＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.

∵f(x)为偶函数，

∴其对称轴为x＝0，∴－2a＋ab2b＝0，

∴2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.

若a＝0，则f(x)＝bx2与值域是(－∞，4]矛盾，∴a≠0，

若b＝－2，又其最大值为4，

∴4b×2a24b＝4，∴2a2＝4，

∴f(x)＝－2x2＋4.

答案 ：－2x2＋4

6.已知函数f(x)＝1a－1x(a＞0，x＞0)．

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a的值．

解：(1)证明：设x2＞x1＞0，

则x2－x1＞0，x1x2＞0.

∵f(x2)－f(x1)＝(1a－1x2)－(1a－1x1)

＝1x1－1x2＝x2－x1x1x2＞0，

∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，

又f(x)在[12，2]上单调递增，

∴f(12)＝12，f(2)＝2，代入可得a＝25.

练习

1．对于定义在R上的任何奇函数，均有(　　)

A．f(x)?f(－x)≤0 B．f(x)－f(－x)≤0

C．f(x)?f(－x)＞0 D．f(x)－f(－x)＞0

解析：选A.∵f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)?f(－x)＝－[f(x)]2≤0.

2．(2010年重庆联合诊断)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数f(|x|)的图象是(　　)

解析：选B.∵y＝f(|x|)是偶函数，∴y＝f(|x|)的图象是由y＝f( x)把x>0的图象保留，x<0部分的图象关于y轴对称而得到的．

3．在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)(　　)

A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数

B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4 ]上是增函数

D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数

解析：选B.由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，作出函数的特征性质图如下．

A．－1 B．1

C．6 D．12

解析：选C.由题意知

当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，

当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2，

又∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域上都为增函数，

∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.

5．(2009年高考福建卷)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上 ，下列函数中与f(x)的单调性不同的是(　　)

A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1

C．y＝2x＋1，x≥0x3＋1，x＜0 D．y＝ex，x≥0e－x，x＜0

解析：选C.利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；y＝2x＋1，x≥0，x3＋1，x＜0在(－2,0)上为增函数．

y＝ex，x≥0，e－x，x＜0在(－2,0)上为减函数，故选C.

6．(2009年高考陕西卷)定义在R上的偶函数f( x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，则当n∈N*时，有(　　)

A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)

B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)

C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)

D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)

解析：选C.对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)?(f(x2)－f(x1))＞0，因此x2－x1和f(x2)－f(x1)同号，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于n∈N*，且n＋1＞n＞n－1，所以－n－1＜－n＜－n＋1≤0，即f(n＋1)＝f(－n－1)＜f(－n)＜f(－n＋1)＝f(n－1)．

7．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f (x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.

解析：∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，

∴当x＜0时，－x＞0，

f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)

即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.

答案：－－x－1

8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．

解析：y＝－(x－3)|x|

＝－x2＋3x，x＞0，x2－3x，x≤0.

作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，32]．

答案：[0，32]

9．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则x的取 值范围为________．

解析：易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f(mx－ 2)＋f(x)＜0?f(mx－2)＜－f(x)＝f(－x)，此时应有mx－2＜－x?xm＋x－2＜0，对所有m∈[－2,2]恒成立，令f (m)＝xm＋x－2，此时只需f(－2)＜0f(2)＜0即可，解之得－2＜x＜23.

答案：(－2，23)

10．求证：f(x)＝1＋xx在(0,1]上是减函数．

证明：设x1，x2∈(0,1]，且x1<x2.

则f(x1)－f(x2)＝1＋x1x1－1＋x2x2

＝x2＋x1x2－x1－x2x1x1?x2

＝x2－x1＋x1x2(x1－x2)x1?x2

＝(x2－x1)(1－x1x2)x1x2.

∵x1，x2∈(0,1]，且x1<x2，

∴x2－x1>0,1－x1x2>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

所以f(x)＝1＋xx在(0,1]上是减函数．

11．已知函数f( x)在定义域[－2,2]内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．

解：∵f (x)的定义域为[－2,2]，

∴有－2≤1－m≤2，－2≤1－m2≤2，

解得－1≤m≤3，①

又f(x)为奇函数，在[－2,2]上递减，

∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)?1－m>m2－1，

即－2<m<1.②

综合①②可知，－1≤m<1.

12．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x＞00，　　　　x＝0x2＋mx，　x＜0是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x＜0时，f (x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f(x)的图象知

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

高一50道经典数学题，有难且有答案

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第01题 阿基米德分牛问题

太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。

在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。

在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数

是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。

问这牛群是怎样组成的？

第02题 德·梅齐里亚克的法码问题

一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。

问这4块砝码碎片各重多少？

第03题 牛顿的草地与母牛问题

a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；

a＆#39;头母牛将b＆#39;块地上的牧草在c＆#39;天内吃完了；

a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；

求出从a到c"9个数量之间的关系？

第04题 贝韦克的七个7的问题

在下面除法例题中，被除数被除数除尽：

* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * *

* * * * * *

* * * * * 7 *

* * * * * * *

* 7 * * * *

* 7 * * * *

* * * * * * *

* * * * 7 * *

* * * * * *

* * * * * *

用星号标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？

第05题 柯克曼的女学生问题

某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每

个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？

第06题 伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters

求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。

第07题 欧拉关于多边形的剖分问题Euler＆#39;s Problem of Polygon Division

可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？

第08题 鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas＆#39; Problem of the Married Couples

n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的

妻子并坐，问有多少种坐法？

第09题 卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam＆#39;s Binomial Expansion

当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂。

第10题 柯西的平均值定理Cauchy＆#39;s Mean Theorem

求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值。

第11题 伯努利幂之和的问题Bernoulli＆#39;s Power Sum Problem

确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+口口。

第12题 欧拉数The Euler Number

求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值。

第13题 牛顿指数级数Newton＆#39;s Exponential Series

将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数。

第14题 麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator＆#39;s Logarithmic Series

不用对数表，计算一个给定数的对数。

第15题 牛顿正弦及余弦级数Newton＆#39;s Sine and Cosine Series

不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数。

第16题 正割与正切级数的安德烈推导法Andre Derivation of the Secant and Tangent Series

在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列。 试利用屈折排列推导正割与正切的级数。

第17题 格雷戈里的反正切级数Gregory＆#39;s Arc Tangent Series

已知三条边，不用查表求三角形的各角。

第18题 德布封的针问题Buffon＆#39;s Needle Problem

在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面

上，问针触及两平行线之一的概率如何？

第19题 费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem

每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示。

第20题 费马方程The Fermat Equation

求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数。

第21题 费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem

证明两个立方数的和不可能为一立方数。

第22题 二次互反律The Quadratic Reciprocity Law

（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式

（p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2]

第23题 高斯的代数基本定理Gauss; Fundamental theorem of Algebra

每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根。

第24题 斯图谟的根的个数问题Sturm;s Problem of the Number of Roots

求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数。

第25题 阿贝尔不可能性定理Abel＆#39;s Impossibility Theorem

高于四次的方程一般不可能有代数解法。

第26题 赫米特-林德曼超越性定理

系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不

可能等于零。

第27题 欧拉直线Euler＆#39;s Straight Line

在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离。

第28题 费尔巴哈圆The Feuerbach Circle

三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上。

第29题 卡斯蒂朗问题Castillon＆#39;s Problem

将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆。

第30题 马尔法蒂问题Malfatti＆#39;s Problem

在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切。

第31题 蒙日问题Monge＆#39;s Problem

画一个圆，使其与三已知圆正交。

第32题 阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius

画一个与三个已知圆相切的圆。

第33题 马索若尼圆规问题Macheroni＆#39;s Compass Problem

证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出。

第34题 斯坦纳直尺问题Steiner＆#39;s Straight-edge Problem

证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出。

第35题 德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem

画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边。

第36题 三等分一个角Trisection of an Angle

把一个角分成三个相等的角。

第37题 正十七边形The Regular Heptadecagon

画一正十七边形。

第38题 阿基米德π值确定法Archimedes; Determination of the Number Pi

设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为口口和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中口口+1是口口、bv的调和中项，bv+1是bv、口口+1的等比中项。假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项。这个方法叫作阿基米德算法。

第39题 富斯弦切四边形问题Fuss＆#39; Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral

找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系。（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）

第40题 测量附题Annex to a Survey

利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置。

第41题 阿尔哈森弹子问题Alhazen＆#39;s Billiard Problem

在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形。

第42题 由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii

已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆。

第43题 在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram

在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点。

第44题 由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents

已知抛物线的四条切线，作抛物线。

第45题 由四点作抛物线A Parabola from Four Points

过四个已知点作抛物线。

第46题 由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points

已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线。

第47题 范·施古登轨迹题Van Schooten＆#39;s Locus Problem

平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？

第48题 卡丹旋轮问题Cardan＆#39;s Spur Wheel Problem

一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？

第49题 牛顿椭圆问题Newton＆#39;s Ellipse Problem

确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹。

第50题 彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem

确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹。