您现在的位置是: 首页 > 教育资讯 教育资讯

高考导数的题型_高考导数的题

tamoadmin 2024-05-20 人已围观

简介你需要理解的是导数和函数增减性之间的关系。当导数在某个区间内大于等于0时,则函数递增,小于等于0时,则函数递减。等于0时,则函数在该区间内为常值函数。对于你的问题,当a=-6/2时,f′(x)=3x?+6x+1/2 在实数域上都是大于等于0的,所以函数是递增的。你的数学老师说的没有错。f′(x)=0时x=-6/6是唯一的零点,此时x=-6/6是函数f的平衡点,但即非极大值点,亦非极小值点。但f在实

高考导数的题型_高考导数的题

你需要理解的是导数和函数增减性之间的关系。

当导数在某个区间内大于等于0时,则函数递增,小于等于0时,则函数递减。等于0时,则函数在该区间内为常值函数。对于你的问题,当a=-√6/2时,f′(x)=3x?+√6x+1/2 在实数域上都是大于等于0的,所以函数是递增的。你的数学老师说的没有错。

f′(x)=0时x=-√6/6是唯一的零点,此时x=-√6/6是函数f的平衡点,但即非极大值点,亦非极小值点。但f在实数域上仍然是递增函数。

导数的应用 说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.设在[0,1]上函数f(x)的图象是连续的,且f′(x)>0,则下列关系一定成立的是A.f(0)<0 B.f(1)>0 C.f(1)>f(0) D.f(1)<f(0)分析:本题主要考查利用函数的导数来研究函数的性质.解:因为f′(x)>0,所以函数f(x)在区间[0,1]上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)>f(0).但f(0)、f(1)与0的大小是不确定的.答案:C2.函数y=xlnx在区间(0,1)上是A. 单调增函数 B. 单调减函数C.在(0, )上是减函数,在( ,1)上是增函数D.在(0, )上是增函数,在( ,1)上是减函数分析:本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性.解:y′=lnx+1,当y′>0时,解得x> .又x∈(0,1),∴ <x<1时,函数y=xlnx为单调增函数.同理,由y′<0且x∈(0,1)得0<x< ,此时函数y=xlnx为单调减函数.故应选C.答案:C3.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如下图所示,则y=f(x)的图象最有可能是分析:本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解:函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(-∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值.答案:C4.已知函数f(x)=3x3-5x+1,则f′(x)是A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数分析:本题考查导数函数的奇偶性.解题的关键是对函数求导,但求导不改变函数的定 义域.解:∵f(x)=3x3-5x+1,∴f′(x)=9x2-5(x∈R). ∵f′(-x)=f′(x),∴f′(x)是偶函数.答案:B5.若函数y=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则A.0<b<1 B.b<1 C.b>0 D.b< 分析:本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.解:对于可导函数而言,极值点是导数为零的点.因为函数在(0,1)内有极小值,所以极值点在(0,1)上.令y′=3x2-3b=0,得x2=b,显然b>0, ∴x=± .又∵x∈(0,1), ∴0< <1.∴0<b<1.答案:A6.函数y=x3+ 在(0,+∞)上的最小值为A.4 B.5 C.3 D.1分析:本题主要考查应用导数求函数的最值.解:y′=3x2- ,令y′=3x2- =0,即x2- =0,解得x=±1.由于x>0,所以x=1.在(0, +∞)上,由于只有一个极小值,所以它也是最小值,从而函数在(0,+∞)上的最小值为y=f(1)=4.答案:A7.若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且x∈(a,b)时,f′(x)>0,又f(a)<0,则A.f(x)在[a,b]上单调递增,且f(b)>0B.f(x)在[a,b]上单调递增,且f(b)<0C.f(x)在[a,b]上单调递减,且f(b)<0D.f(x)在[a,b]上单调递增,但f(b)的符号无法判断分析:本题主要考查函数的导数与单调性的关系.解:若函数f(x)在(a,b)内可导,且x∈(a,b)时,f′(x)>0,则函数在[a,b]内为增函数.∵f(a)<0, ∴f(b)可正可负,也可为零,即f(b)的符号无法判断.答案:D8.已知y= sin2x+sinx+3,那么y′是A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数分析:本题主要考查导函数的性质.解:y′=( sin2x)′+(sinx)′= (cos2x)(2x)′+cosx=cos2x+cosx.不妨设f(x)=cos2x+cosx,∵f(-x)=cos(-2x)+cos(-x)=cos2x+cosx=f(x), ∴y′为偶函数.又由于y′=2cos2x-1+cosx=2cos2x+cosx-1,令t=cosx(-1≤t≤1),∴y′=2t2+t-1=2(t+ )2- . ∴y′max=2, y′min=- .故选B.答案:B9.函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则A.a= B.a=1 C.a=2 D.a<0分析:本题考查常见函数的导数及其应用.可以采用解选择题的常用方法——验证法.解:由y′=3ax2-1,当a= 时,y′=x2-1,如果x>1,则y′>0与条件不符.同样可判断a=1,a=2时也不符合题意.当a<0时,y′=3ax2-1恒小于0,则原函数在(-∞,+∞)上是减函数.故选D.答案:D10.已知抛物线y2=2px(p>0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为A.(0,0) B.( ,p) C.( ) D.( )分析:本题考查利用函数的导数求解函数的最值.首先建立关于距离的目标函数关系式,然后合理地选取变量,通过求导数的方法求与最值有关的问题.本题也可以用解析几何中数形结合法求解.解:设抛物线上的任意点(x,y)到点M的距离为d,则有d2=(p-x)2+(p-y)2=(p- )2+(p-y)2.∴(d2)′=2(p- )(- )+2(p-y)(-1)= -2p.令(d2)′y=0,即 -2p=0,解得y= p.这是函数在定义域内的唯一极值点,所以必是最值点.代入抛物线方程得 .所以点( )为所求的点.答案:D第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)11.函数y=sin2x的单调递减区间是__________.分析:本题考查导数在三角问题上的应用.解法一:y′=2sinxcosx=sin2x. 令y′<0,即sin2x<0,∴2kπ-π<2x<2kπ,k∈Z. ∴kπ- <x<kπ,k∈Z.∴函数y=sin2x的单调递减区间是(kπ- ,kπ),k∈Z.解法二:y=sin2x=- cos2x+ ,函数的减区间即cos2x的增区间,由2kπ-π<2x<2kπ, k∈Z,得kπ- <x<kπ,k∈Z.∴函数y=sin2x的单调递减区间是(kπ- ,kπ),k∈Z.答案:(kπ- ,kπ),k∈Z12.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________.分析:本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数 (x)=f(x)g(x),利用 (x)的性质解决问题.解:设 (x)=f(x)g(x),则 ′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0.∴ (x)在(-∞,0)上是增函数且 (-3)=0.又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴ (x)=f(x)g(x)为奇函数.∴ (x)在(0,+∞)上也是增函数且 (3)=0.当x<-3时, (x)< (-3)=0,即f(x)g(x)<0;当-3<x<0时, (x)> (-3)=0,即f(x)g(x)>0.同理,当0<x<3时, f(x)g(x)<0;当x>3时,f(x)g(x)>0.∴f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).答案:(-∞,-3)∪(0,3)13.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_______m2.分析:本题考查如何求函数的最值问题,其关键是建立目标函数.解:设场地的长为x m,则宽为(8-x) m,有S=x(8-x)=-x2+8x,x∈(0,8).令S′=-2x+8=0,得x=4.∵S在(0,8)上只有一个极值点, ∴它必是最值点,即Smax=16.此题也可用配方法、均值不等式法求最值.答案:1614.过曲线y=lnx上的点P的切线平行于直线y= x+2,则点P的坐标是__________.分析:本题考查导数的几何意义.本题可采取逆向思维,构造关于切点横坐标的方程.解:因直线y= x+2的斜率为k= , 又因y=lnx,所以y′= = .所以x=2.将x=2代入曲线y=lnx的方程,得y=ln2. 所以点P的坐标是(2,ln2).答案:(2,ln2)三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题10分)某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,问堆料场的长和宽各为多少时,才能使砌墙所用的材料最省?分析:本题考查如何求函数的最值问题,其关键是建立目标函数.解:要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如下图所示,设场地一边长为x m,则另一边长为 m,因此新墙总长度L=2x+ (x>0), 4分L′=2- .令L′=2- =0,得x=16或x=-16. 6分∵x>0,∴x=16. 7分∵L在(0,+∞)上只有一个极值点,∴它必是最小值点.∵x=16,∴ =32. 9分故当堆料场的宽为16 m,长为32 m时,可使砌墙所用的材料最省. 10分注:本题也可利用均值不等式求解.16.(本小题12分)已知函数y=ax与y=- 在区间(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.分析:本题主要考查利用导数确定函数的单调区间.可先由函数y=ax与y=- 的单调性确定a、b的取值范围,再根据a、b的取值范围去确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.解:∵函数y=ax与y=- 在区间(0,+∞)上是减函数,∴a<0,b<0. 3分由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx. 6分令y′>0,即3ax2+2bx>0,∴- <x<0.因此当x∈(- ,0)时,函数为增函数; 8分令y′<0,即3ax2+2bx<0,∴x<- 或x>0. 10分因此当x∈(-∞,- )时,函数为减函数;x∈(0,+∞)时,函数也为减函数. 12分17.(本小题10分)当x>0时,求证:ex>x+1.分析:本题考查利用导数证明不等式的问题.解题的关键是由导数确定单调区间,由函数在某一区间上的单调性构造不等式求解.证明:不妨设f(x)=ex-x-1, 3分则f′(x)=(ex)′-(x)′=ex-1. 6分∵x>0,∴ex>1,ex-1>0.∴f′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数. 8分∴f(x)>f(0),即ex-x-1>e0-1=0.∴ex>x+1. 10分18.(本小题10分)如右图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D.(1)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);(2)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值.分析:本题主要考查如何以四边形的面积为载体构造目标函数、函数的导数、函数的单调性等基础知识,考查运算能力和利用导数研究函数的单调性,从而确定函数的最值.解:(1)解方程组 得交点O、A的坐标分别为(0,0),(1,1). 2分f(t)=S△ABD+S△OBD= |BD|·|1-0|= |BD|= (-2t3+3t-t3)= (-3t3+3t),即f(t)=- (t3-t)(0<t<1). 4分(2)f′(t)=- . 6分令f′(t)=- =0,得 (舍去).当0<t< 时,f′(t)>0,从而f(t)在区间(0, )上是增函数; 8分当 <t<1时,f′(t)<0,从而f(t)在区间( ,1)上是减函数.所以当t= 时,f(t)有最大值f( )= . 10分19.(本小题12分)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200- x2,且生产x t的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)分析:本题主要考查利用导数求函数的最值.根据题意,列出函数关系式,求导求解.解:每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200- x2)x-(50000+200x)=- x3+24000x-50000(x≥0). 4分由f′(x)=- x2+24000=0,解得x1=200,x2=-200(舍去). 8分∵f(x)在[0,+∞)内只有一个点x1=200使f′(x)=0,∴它就是最大值点.f(x)的最大值为f(200)=3150000(元).∴每月生产200 t才能使利润达到最大,最大利润是315万元. 12分

文章标签: # 函数 # lt # gt