高考三角函数解答题,高考三角函数解题

三角函数最值问题类型归纳　三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。　1．y=asinx+bcosx型的函数　特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中tanφ=。　　例1．当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（ D ）　A、最大值是1，最小值是-1　　B、最大值是1，最小值是-　C、最大值是2，最小值是-2　　D、最大值是2，最小值是-1　分析：解析式可化为f(x)=2sin(x+)，再根据x的范围来解即可。　2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数　　特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。　例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。　解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x　　　　 =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x　　　　 =1+sin2x+1+cos2x　　　 =2+　　 当sin(2x+)=-1时，y取最小值2-，此时x的集合。　　3．y=asin2x+bcosx+c型的函数　特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。　例3．求函数y=cos2x-2asinx-a（a为常数）的最大值M。　解：y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a，　　令sinx=t，则y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1)　(1) 若-a<-1时，即a>1时, 在t=-1时，取最大值M=a。　　(2) 若-1≤-a≤1，即-1≤a≤1时，在t=-a时，取最大值M=a2+1-a。　　(3) 若-a>1，即a<-1时，在t=1时，取大值M=-3a。　　4．y=型的函数　特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种。　例4．求函数y=的最大值和最小值。　解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+φ)=，　∵ |sin(x+φ)|≤1，∴≤1，解出y的范围即可。　解法2：表示的是过点(2, 2)与点(cosx, sinx)的斜率，而点(cosx, sinx)是单位圆上的点，观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。　解法3：应用万能公式设t=tan()，则y=，即(2-3y)t2-2t+2-y=0，　　根据Δ≥0解出y的最值即可。　5．y=sinxcos2x型的函数。　它的特点是关于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。因为高中数学不涉及三次函数的最值问题，故几乎所有的三次式的最值问题（不只是在三角）都用均值不等式来解（没有其它的方法）。但需要注意是否符合应用的条件（既然题目让你求，多半是符合使用条件的，但做题不能少这一步），及等号是否能取得。　例5．若x∈(0,π)，求函数y=(1+cosx)·sin的最大值。　解：y=2cos2·sin>0,　y2=4cos4sin2　　　=2·cos2·cos2·2sin2　　　　　所以0<y≤。　　注：本题的角和函数很难统一，并且还会出现次数太高的问题。　6．含有sinx与cosx的和与积型的函数式。　其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子，处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化，变成二次函数来求解

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解：(1)由题意，得

π/2＜α＜π,sin^2 α+cos^2 α=1,sinα=1/5

所以cosα=2*6^(1/2)/5

所以tanα=sinα/cosα=6^(1/2)/12

(1)由题意，得

（cosα-sinα)^2=1-2sinαcosα=3/4

所以cosα-sinα=3^(1/2)/2或-3^(1/2)/2

又因为0＜α＜π/4，

所以cosα>sinα

所以cosα-sinα=3^(1/2)/2

(2)由题意，得

因为tanα=1/3,

所以sin2α=2tanα/(1+tan^2 α)=3/5

所以1/sinαcosα=2/2sinαcosα=2/sin2α=10/3