高考数学等差数列题目-高考等差数列题

1.这道数学数列题怎么做？最好写在纸上

2.一道高中数列问题，急求讲解，谢！！！

3.已知数列 为等比数列，且 ，设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 ____.

4.设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.

5.等差数列和等比数列真的好难？

6.高考数学 已知公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=20，a1，a2，a4成等比数

这道数学数列题怎么做？最好写在纸上

这是一个二阶等差数列。因为a?n+1?-a?n?=2n-1，故有:

a?-a?=1

a?-a?=3

a?-a?=5

a?- a? =7

...............

a?n?-a?n-1?=2n-3

______________+ (共n-1个等式相加)

-a?+a?n?=1+3+5+7+.....+(2n-3)=[1+(2n-3)](n-1)/2=(n-1)?

故a?n?=(n-1)?+a?=n?-2n+21

一道高中数列问题，急求讲解，谢！！！

这是归纳法来证明数列 由已知公式an=Sn-Sn-1可以推导出{an}这个数列的an 但是这里n必须大于1，也就是从n=2开始 所以就要单独讨论n=1的情况

已知Sn=2n^2-30n，当n=1时，S1=a1=2*1-30=-28

若n>=2时，an=Sn-Sn-1=2n^2-30n-2（n-1）^2+30（n-1）=4n-32

对于上面解得的an，n=1时a1=4-32=-28 与之前计算结果相同，所以an=4n-32对于任意n都适用

综上所述 an=4n-32

已知数列 为等比数列，且 ，设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 ____.

分析 首项根据等比数列的性质若m+n=k+l则a m a n =a k a l ，计算出b 5 =a 5 =2，再根据等差数列的性质若m+n=k+l则b m +b n =b k +b l ，得出S 9 =9b 5 ，进而得到答案． 在数列{a n }为等比数列中，若m+n=k+l则a m a n =a k a l ． 已知数列{a n }为等比数列，且a 3 ?a 7 =2a 5， 所以a 5 =2． 所以b 5 =a 5 =2． 在数列{b n }为等差数列中，若m+n=k+l则b m +b n =b k +b l ． 所以S 9 = (b 1 +b 9 )=9b 5 =18． 点评 解决此类问题的关键是首项等差数列的性质以及等比数列的性质，再结合着正确的运算即可，此类题目在高考中常以选择题或填空题的形式出现．

设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.

(1)设公差为d，公比为q，显然q>0

则2d+q^4=20 (1) 4d+q^2=12 (2)

(1)*2-(2) (2q^2+7)(q^2-4)=0

∵q>0

∴q=2 代入得d=2

an=1+2(n-1)=2n-1

bn=2^(n-1)

(2)Sn=1+3/2+5/2^2+....+(2n-1)/2^(n-1) (3)

2Sn=2+3+5/2+.....+(2n-1)/2^(n-2) (4)

(4)-(3) Sn=2+2+2/2+...+2/2^(n-2)-(2n-1)/2^(n-1)

=4+[1+1/2+...+1/2^(n-1)]-(2n-1)/2^(n-1)

=4+[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)-(2n-1)/2^(n-1)

=4+2-2/2^(n-1)-(2n-1)/2^(n-1)

=6-(2n+1)/2^(n-1)

等差数列和等比数列真的好难？

汤，，我的好O(∩_∩)O 例1.等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S13解：由求和公式知问题转化为求a7由条件得：a7=12例2.已知数列{a_n}满足(1)计算：a2,a3,a4　 (2)求数列的通项公式解：(1)由可计算出a2= -1,a3=，a4= -1有两种解法，一由a2,a3,a4的值猜想通项公式然后用数学归纳法证明二是由已知得：(*)　 两式相减得：(an-1-1)(an-an-2)=0显然不存在an-1-1=0的情况，否则代入(*)有an=an+1即0=1矛盾，故只有an=an-2这样可得　 或例3.已知数列{a_n}的各项均为正数，且前n项之和Sn满足6Sn=an2+3an+2.若a2，a4,a9成等比数列，求数列的通项公式。 解：当n=1时，由题意有6a1=a12+3a+2于是　 a1=1 或 a1=2当n32时，有6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2两式相减得：(an+an-1) (an-an-1-3)=0由题意知{a_n}各项为正，所以an-an-1=3当a1=1时，an=1+3(n-1)=3n-2此时a42=a2a9成立当a1=2时，an=2+3(n-1)=3n-1此时a42=a2a9不成立，故a1=2舍去所以an=3n-2例4.各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有多少项？解 设a1,a2…,an是公差为4的等差数列，则　 a12+a2+a3+…+an￡100,　 即　 a12+(n-1)a1+(2n2-2n-100)￡0　 (1)因此，当且仅当D=(n-1)2-4(2n2-2n-100)30时，至少存在一个实数a1满足(1)式。因为D30，所以7n2-6n-401￡0,解得 n1￡n￡n2　 (2)其中，所以满足(2)的自然数n的最大值为8。故这样的数列至多有8项。例5.各项均为实数的等比数列{a_n}的前n项之和为Sn，若S10=10，S30=70，求S40。解　 记b1=S10,b2=S20-S10,b3=S30-S20,b4=S40-S30.设q是{a_n}的公比，则b1,b2,b3,b4构成以r=q10为公比的等比数列。于是70=S30=b1+b2+b3=b1(1+r+r2)=10(1+r+r2)即r2+r-6=0.解得r=2 或 r=-3由于r=q10>0 , 所以r=2故　 S40=10(1+2+22+23例6.给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12￡M的所有等差数列a1,a2,a3…试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。解　 设公差为d,an+1=a. 则S=an+1+an+2+…+a2n+1=(n+1)a+故又　 M3a12+an+12=(a-nd)2+a2=所以　 |S|且当 时，S===由于此时4a=3nd，所以所以S的最大值为。例7.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项之和为2，这样的数列共有多少个？解　 设等差数列首项为a，公差为d，依题意有即　 [2a+(n-1)d]n=2′2, (3)因为n为不小于3的自然数，为素数，故n的值只可能为，2′,2,2′2四者之一。若 d>0,则由(3)知2′23n(n-1)d3n(n-1).故只可能有n=.于是(3)化为 a+48d=.此时可得n=,d=1,a=49 或 n=,d=2,a=1.若d=0时，则由(3)得na=2,此时n=,a= 或 n=2,a=1。故符合条件的数列共有4个。例8.设{a_n}是由正数组成的等比数列，Sn是前n项之和(1)证明(2)是否存在常数c>0，使得成立，并证明你的结论证明：(1)设{a_n}的公比为q,由已知得：a1>0,q>0i)当q=1时，Sn=na1,从而，Sn×Sn+2-Sn+12=na1(n+2)a1-(n+1)2a12= -a12<0ii)当q11时，∴由i)、ii)均有Sn×Sn+2n</I>+12，两边同时取对数即得证(2)要使成立，则有分两种情况讨论i)当q=1时(Sn-c)×(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2=(na1-c)[(n+2)a1-c]-[(n+1)a1-c]2= -a12<0即不存在常数c>0使结论成立ii)当q11时，若条件(Sn-c)×(Sn+2-c)=(Sn+1-c)2成立，则(Sn-c)×(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2=　　　　　　　　　 = -a1qn[a1-c(1-q)]而a1qn10，故只能是a1-c(1-q)=0即，此时，由于c>0,a1>0，必须0<q<1,但0<q<1时，不满足Sn-c>0，即不存在常数c>0满足条件综合i)、ii)可得，不存在常数c>0，满足题意例9.设任意实数x,y满足|x|<1,|y|<1,求证： (第19届莫斯科数学竞赛试题)证明：∵|x|<1,|y|<1，∴x2<1,y2<1，故=(1+x2+ x4+ x6+…)+(1+ y2+ y4+ y6+…)=2+(x2+y2) (x4+y4)+ (x6+y6)+…　　　　　　 ≥2+2xy+2x2y2+2x3y3+…=例10.设x,y,z为非负实数，且x+y+z=1,求证：0￡xy+yz+zx-2xyz￡证明：由对称性，不妨设x3y3z　 ∵x+y+z=2×∴x+y,, z成等差数列，故可设x+y=+d,z=-d由x+y32z，得，则xy+yz+zx-2xyz=(x+y)z+xy(1-2z)=30当且仅当x=1,y=z=0时取等号又￡=当且仅当x=y=z=时取等号故0￡xy+yz+zx-2xyz￡例11.解方程组解：由(1)得 解得即xy=15=,则x,，y成等比数列，于是可设x=q,y= 代入(2)整理得：15q4-34q2+15=0解得：故经检验都是原方程组的解例12.解方程：解：显然成等差数列，故可设　　 (1)2-(2)2得-2(3x+2)= -2(3x+2)d 解得d=1或当d=1时，代入(1)解得是增根，舍去∵符合题意，∴是原方程的根例13.等差数列{a_n}中，，试求(l-m)ab+(m-n)bc+(n-l)ca的值解：在直角坐标系中，对于任意n?N,点(n,an)共线，所以有，点共线，于是，由，化简得：，所以=所以所求的值为0例14.从n个数1,a, a2,…, an (a>2)中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证明：这两部分之和不可能相等证明：当a>2时，，上式对任意k?N成立，不妨设剩下的数中最大的数am (m31)在第一部分中，则第一部分各数之和3am>1+a+…+am-13第二部分之和

高考数学 已知公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=20，a1，a2，a4成等比数

s4=4a1+6d=20,(a2)^2=a1*a4

2a1+3d=10,(a1+d)^2=a1(a1+3d)

2a1+3d=10,a1=d

解得,a1=d=2

an=2+2(n-1)=2n

an=2n